Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, wir haben ja in der letzten Vorlesung über Potenz-Reihen und Taylor-Reihen gesprochen und

wiederholen noch mal kurz, was da so wichtig ist. Potenz-Reihen sehen ja so aus wie Polynome,

nur hat man unendlich viele Potenzen. Bei den Polynomen hat man ja immer nur eine

endliche Summe. Also so eine Potenz-Reihe sieht ja folgendermaßen aus. f von x ist gleich Summe

von n gleich 0 bis unendlich. Koeffizienten a n multipliziert mit den Potenzen x hoch n.

Und wir betrachten das hier nur dort, wo diese Reihe auch konvergent ist. Also das x ist aus

dem Intervall von minus rho bis rho. Das rho kennen Sie ja schon aus den Übungen, das ist

dabei so ein Konvergenzradius, den kann man in Abhängigkeit von der Koeffizientenfolge berechnen.

rho ist der Konvergenzradius, der ist manchmal 0, dann konvergiert diese Folge nur im Nullpunkt,

aber manchmal ist er auch unendlich, dann konvergiert diese Potenz-Reihe für alle x aus

R und manchmal ist es eine endliche Zahl. Dann haben wir hier auch ein endliches Intervall.

Und auf diesem endlichen Intervall hat dann diese Reihe einen Wert und der hängt von x ab im

Allgemeinen und das nennen wir dann f von x. Also das ist somit eine Funktion von x. Und für Funktionen

kennen wir ja schon einiges. Funktionen kann man ja differenzieren, wenn sie regulär genug sind.

Und bei den Potenz-Reien ist es so, dass die Funktionen immer differenzierbar sind im

Konvergenzintervall, also in diesem Intervall von minus rho bis rho. Da haben wir die Ableitung f

Strich von x. Das ist dann wieder eine Potenz-Reihe und da fällt dann der erste Summand weg,

also x hoch 0 ist ja konstant und taucht dann nicht auf. Das heißt, die Reihe geht hier von

n gleich 1 bis unendlich und da steht dann n mal a n mal x hoch n minus 1. Und der Witz ist hier,

bleibt der Konvergenzradius erhalten. Also man kann hier einfach gliedweise differenzieren und der

Konvergenzradius bleibt unverändert. Der Konvergenzradius bleibt unverändert.

Das nennt man gliedweise differenzieren und das geht eben bei solchen Potenz-Reien.

Gliedweise differenzieren ist möglich und neben dem differenzieren haben wir auch schon das

integrieren kennengelernt. Also das ist ja so häufig durch das auffinden einer Stammfunktion

möglich und während bei der Ableitung beim differenzieren die Funktion eher schlechter wird,

wird sie durch die Integration eher geglättet und hier kann man eben auch gliedweise integrieren.

Das ist dann nicht so überraschend, wenn man sie differenzieren kann. Also man kann gliedweise

differenzieren und integrieren. Und das Integral schreiben wir auch noch hin. Wir betrachten das

Integral von 0 bis x von f von t dt. Das ist ein vernünftiges Integral, weil 0 immer in unserem

Konvergenzintervall drin liegt und die Punkte zwischen 0 und x liegen auch im Konvergenzintervall,

wenn das x im Konvergenzintervall drin liegt. Und hier muss man alle Terme integrieren. Man summiert

also von n gleich 0 bis unendlich und integriert dann x hoch n auf. Das liefert x hoch n plus

1 und um das Integral zu erhalten, muss man hier noch durch n plus 1 teilen. Das geht auch für x

aus dem Intervall von minus rho bis plus rho. Also auch hier gilt, der Konvergenzradius bleibt

unverändert. Genau wie beim differenzieren. Und bei der Konvergenz der Reihen kommt es ja darauf an,

wie schnell die Koeffizienten gegen die Null konvergieren. Also je schneller die

Koeffizienten gegen Null konvergieren, desto besser konvergiert die Reihe. Und Sie sehen,

beim differenzieren wird hier ja so ein Faktor n dran multipliziert. Da konvergieren dann die

Koeffizienten langsamer gegen die Null. Also das wird dann schwieriger. Aber beim integrieren

teilt man durch n plus 1. Also die Funktion wird dann glatter, weil die Konvergenz besser wird,

weil die Koeffizienten dann schneller gegen die Null gehen, weil sie ja kleiner werden. Und auf

diese Weise kann man aus Reihen, die man schon kennt, sehr viele neue Potenzreihen erzeugen. Also

Sie haben ja die geometrische Reihe schon gesehen, so mal aus den x hoch n. Also das ist ja 1 durch

1 minus x. Und wenn man das integriert, dann kommt der Logarithmus raus. Auf die Art haben wir ja auch

schon die Logarithmusreihe erzeugt, die sieht so ähnlich aus wie hier die mit a n gleich 1. Und

deshalb ist das ein sehr nützliches Konzept. Das ist auch wichtig, wenn Sie Differentialgleichungen

mit einem potenzreinen Ansatz lösen wollen. Dazu gab es ja auch eine Übungsaufgabe, jetzt auf der

aktuellen Übung. Da war die Differentialgleichung f Strich gleich f. Also die Lösung ist dann die

Exponentialreihe oder Vielfache davon. Und dieses Gliedweise differenzieren ist die theoretische